每日一题[2459]构造方程

设 $a_1,a_2,\cdots,a_{2021}$ 为两两不同的实数，求证：

$$\sum_{i=1}^{2021}\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}=1.$$

解析    设

$$f(x)=\sum_{i=1}^{2021}\left(\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}\dfrac{a_i+a_j}{a_i-a_j}\cdot \prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}(x-a_j)\right),$$ 则问题转化为证明多项式函数 $f(x)$ 的 $x^{n-1}$ 次项系数 $r=1$，其中 $f(x)$ 满足 $$f(a_i)=\prod_{\substack{j=1,\\ j\ne i}}^{2021}(a_i+a_j),\quad i=1,2,\cdots,2021.$$ 于是 $x=a_i$（$i=1,2,\cdots,2021$）是关于 $x$ 的方程 $n$ 次方程 $$2xf(x)-\prod_{j=1}^{2021}(x+a_j)=0$$ 的所有实根，从而 $$2xf(x)-\prod_{j=1}^{2021}(x+a_j)=(2r-1)\prod_{j=1}^{2021}(x-a_j),$$ 考虑常数项，可得 $r=1$，命题得证．