每日一题[2443]重新构图

在 $\triangle A B C$ 中，$D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点，$A D=1$，$B E=2$，则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为（       ）

A．$1$

B．$\dfrac43$

C．$\dfrac 53$

D．$2$

答案    B．

解析    设 $\triangle ABC$ 的重心为 $G$，则 $\triangle GAB$ 中，$AG=\dfrac 23$，$BG=\dfrac 43$，因此 $\triangle GAB$ 的面积的最大值为

$$\dfrac 12\cdot AG\cdot BG=\dfrac 49,$$ 进而 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $3\cdot \dfrac 49=\dfrac 43$．

备注    本题构图方式为作线段 $GA=\dfrac 23$，$GB=\dfrac 43$，分别反向延长线段 $GA,GB$ 至 $D,E$，使得 $GD=\dfrac 13$，$GE=\dfrac 23$，延长 $AE,BD$ 交于点 $C$．