每日一题[2443]重新构图

在 $\triangle A B C$ 中,$D, E$ 分别为 $B C, A C$ 的中点,$A D=1$,$ B E=2$,则 $\triangle ABC$ 面积的最大值为(       )

A.$1$

B.$\dfrac43$

C.$\dfrac 53$

D.$2$

答案    B.

解析    设 $\triangle ABC$ 的重心为 $G$,则 $\triangle GAB$ 中,$AG=\dfrac 23$,$BG=\dfrac 43$,因此 $\triangle GAB$ 的面积的最大值为\[\dfrac 12\cdot AG\cdot BG=\dfrac 49,\]进而 $\triangle ABC$ 的面积的最大值为 $3\cdot \dfrac 49=\dfrac 43$.

备注    本题构图方式为作线段 $GA=\dfrac 23$,$GB=\dfrac 43$,分别反向延长线段 $GA,GB$ 至 $D,E$,使得 $GD=\dfrac 13$,$GE=\dfrac 23$,延长 $AE,BD$ 交于点 $C$.

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