每日一题[2444]复数的模

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$,则 $\left|z^{3}-z+2\right|$(       )

A.最大值为 $4$

B.最大值为 $13$

C.最小值为 $4$

D.最小值为 $\dfrac8{27}$

答案    BD.

解析    设 $z=\cos t+{\rm i}\sin t$,则有\[\begin{split} |z^3-z+2|&=\sqrt{(\cos 3 t-\cos t+2)^{2}+(\sin 3 t-\sin t)^{2}}\\ &=16 \cos ^{3} t-4 \cos ^{2} t-16 \cos t+8\\ &=16 x^{3}-4 x^{2}-16 x+8,\end{split}\]其中 $x=\cos t \in[-1,1]$.设右侧函数为 $f(x)$,则其导函数\[f^{\prime}(x)=8(2 x+1)(3 x-2),\]于是\[\begin{array}{c|ccccccc}\hline x&-1&\left(-1,-\dfrac 12\right)&-\dfrac 12&\left(-\dfrac 12,\dfrac 23\right)&\dfrac 23&\left(\dfrac 23,1\right)&1\\ \hline f(x)&4&\nearrow&13&\searrow&\dfrac8{27}&\nearrow&4\\ \hline \end{array}\]因此原式的最大值为 $\sqrt{13}$,最小值为 $\dfrac{2\sqrt 6}9$.

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