每日一题[2436]完全平方数

设正整数 $n \leqslant 2021$，且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 是完全平方数，则可能的 $n$ 的个数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

答案    D．

解析    注意到

$$n^{5}-5 n^{3}+4 n+7=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+7,$$ 而连续的 $5$ 个整数的乘积必然被 $4$ 整除，因此 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 模 $4$ 余 $3$，不可能是完全平方数．