每日一题[2437]连环套

设正整数 $m, n$ 均不大于 $2021$,且 $\dfrac{m}{n+1}<\sqrt{2}<\dfrac{m+1}{n}$,则这样的数组 $(m, n)$ 个数为(       )

A.$2021$

B.$1428$

C.$3449$

D.以上答案都不对

答案    C.

解析    题中不等式即\[\sqrt 2n-1<m<\sqrt 2n+\sqrt 2,\]记 $D_n=\left(\sqrt 2n-1,\sqrt 2n+\sqrt 2\right)$,注意到区间 $D_n$ 的长度为 $\sqrt 2+1$,而相邻区间的间距为 $\sqrt 2$,满足\[\sqrt 2<\sqrt 2+1<2\sqrt 2,\]因此任何两个相邻的区间都有交集 $E_n=\left(\sqrt 2n+\sqrt 2-1,\sqrt 2n+\sqrt 2\right)$.记 $\displaystyle\bigcup_{n=1}^{2021}D_n=D$,$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{2021}E_n=E$,则当 $m\in D\setminus E$ 时,$m$ 对应唯一的 $n$;当 $m\in E$ 时,$m$ 对应两个 $n$.而\[\sqrt 2\cdot 1430-1>2021>\sqrt 2\cdot 1429-1,\]因此有 $1428$ 个 $m$ 落在 $E$ 中,剩下的 $2021-1428=593$ 个 $m$ 落在 $D\setminus E$ 中,所求数组 $(m,n)$ 的个数为\[1428\cdot 2+593=3449.\]

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