每日一题[2435]分类计数

an 是与 n2 的差的绝对值最小的整数,bn 是与 2n 的差的绝对值最小的整数.记 {1an} 的前 n 项和为 Sn{1bn} 的前 n 项和为 Tn,则 2T100S100 的值为(       )

A.1

B.2

C.3

D.以上答案都不对

答案    A.

解析    容易证明 n2 的小数部分不可能为 0.5,因此an=kk12<n2<k+12,整理可得2k22k+12<n<2k2+2k+122k(k1)+1n2k(k+1),注意到 k=6 时,2k(k+1)=84,因此S100=6k=1(1k4k)+17(10084)=2627.类似的,有bn=kk12<2n<k+12,整理可得k(k1)2+18<n<k(k+1)2+18k(k1)2+1nk(k+1)2,注意到 k=13 时,2k(k+1)=91,因此S100=13k=1(1kk)+114(10091)=13914.综上所述,有 2T100S100=1

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