设 an 是与 √n2 的差的绝对值最小的整数,bn 是与 √2n 的差的绝对值最小的整数.记 {1an} 的前 n 项和为 Sn,{1bn} 的前 n 项和为 Tn,则 2T100−S100 的值为( )
A.1
B.2
C.3
D.以上答案都不对
答案 A.
解析 容易证明 √n2 的小数部分不可能为 0.5,因此an=k⟺k−12<√n2<k+12,整理可得2k2−2k+12<n<2k2+2k+12⟺2k(k−1)+1⩽n⩽2k(k+1),注意到 k=6 时,2k(k+1)=84,因此S100=6∑k=1(1k⋅4k)+17⋅(100−84)=2627.类似的,有bn=k⟺k−12<√2n<k+12,整理可得k(k−1)2+18<n<k(k+1)2+18⟺k(k−1)2+1⩽n⩽k(k+1)2,注意到 k=13 时,2k(k+1)=91,因此S100=13∑k=1(1k⋅k)+114⋅(100−91)=13914.综上所述,有 2T100−S100=1.