每日一题[2433]轮换式

已知 $a,b,c$ 是三个不全相等的实数且满足 $a=a b+c$，$b=b c+a$，$c=c a+b$，则 $a+b+c=$ （       ）

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$3$

答案    D．

解析    若 $a=0$，则 $c=a(1-b)=0$，进而 $b=bc+a=0$，与 $a,b,c$ 是三个不全相等的实数矛盾，所以 $a,b,c$ 均不为 $0$．题中三式相加，可得

$$ab+bc+ca=0,$$ 又 $$\begin{cases} c=a(1-b),\\ a=b(1-c),\\ b=c(1-a),\end{cases}\implies abc=abc(1-a)(1-b)(1-c)\implies (1-a)(1-b)(1-c)=1,$$ 从而 $$1-(a+b+c)-(ab+bc+ca)-abc=1\iff abc=-(a+b+c),$$ 又 $$\begin{cases} ac=abc+c^2,\\ ab=abc+a^2,\\ bc=abc+b^2,\end{cases}\implies ab+bc+ca=3abc+(a^2+b^2+c^2),$$ 于是 $$3(ab+bc+ca)=3abc+(a+b+c)^2,$$ 从而 $$abc(a+b+c-3)=0\implies a+b+c=3.$$

备注    事实上，$a,b,c$ 是关于 $x$ 的方程 $x^3-3x^2+3=0$ 的三个不同实根，约为 $-0.8794,1.3473,2.5321$．