每日一题[2432]兵分两路

设 $y_{n}=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1$，若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$，则 $n$ 的最小值为（       ）

A．$71$

B．$72$

C．$80$

D．$81$

答案    C．

解析    根据题意，有

$$y_n=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1=\underbrace{11\cdot 1}_{n\text{ 个 }1}\cdot 11=\dfrac{11\left(10^{n+1}-1\right)}{9},$$ 因此 $$10^9-1\mid y_n\iff 10^9-1\mid \dfrac{11\left(10^{n+1}-1\right)}{9}\iff 9(10^9-1)\mid \left(10^{n+1}-1\right).$$ 由于当 $a$ 是不小于 $2$ 的正整数时，有 $$\left(a^m-1,a^n-1\right)=a^{(m,n)}-1,$$ 于是 $9\mid n+1$．设 $n+1=9k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），则 $$10^{n+1}-1=10^{9k}-1=(10^9-1)\left(10^{9(k-1)}+10^{9(k-2)}+\cdots+10^9+1\right),$$ 考虑 $10^{9(k-1)}+10^{9(k-2)}+\cdots+10^9+1$ 模 $9$ 的余数为 $k$，因此 $k$ 的最小值为 $9$，从而 $n$ 的最小值为 $80$．