设 $y_{n}=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1$，若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$，则 $n$ 的最小值为（ ）
A．$71$
B．$72$
C．$80$
D．$81$
答案 C．
解析 根据题意，有\[y_n=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1=\underbrace{11\cdot 1}_{n\text{ 个 }1}\cdot 11=\dfrac{11\left(10^{n+1}-1\right)}{9},\]因此\[10^9-1\mid y_n\iff 10^9-1\mid \dfrac{11\left(10^{n+1}-1\right)}{9}\iff 9(10^9-1)\mid \left(10^{n+1}-1\right).\]由于当 $a$ 是不小于 $2$ 的正整数时，有\[\left(a^m-1,a^n-1\right)=a^{(m,n)}-1,\]于是 $9\mid n+1$．设 $n+1=9k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$），则\[10^{n+1}-1=10^{9k}-1=(10^9-1)\left(10^{9(k-1)}+10^{9(k-2)}+\cdots+10^9+1\right),\]考虑 $10^{9(k-1)}+10^{9(k-2)}+\cdots+10^9+1$ 模 $9$ 的余数为 $k$，因此 $k$ 的最小值为 $9$，从而 $n$ 的最小值为 $80$．