每日一题[2396]旋转的圆弧

已知 $f(x)=\sqrt{4+6x-x^2}-2$（$x\in [0,6]$），将 $f(x)$ 的图象绕原点逆时针旋转任意 $\theta$（$\theta\in [0,\alpha]$）角后得到的曲线仍然是某个函数的图象，则 $\alpha$ 的最大值为（       ）

A．$\arctan\dfrac 32$

B．$\arctan\dfrac 23$

C．$\dfrac{\pi}4$

D．$\dfrac{\pi}3$

答案    B．

解析  记 $f(x)=y$，则 $$(y+2)^2=4+6x-x^2\iff (x-3)^2+(y+2)^2=13,$$ 因此 $f(x)$ 的图象是以 $C(3,-2)$ 为圆心的一段弧 $OA$．过 $O$ 作弧的切线 $OP$，可得 $\alpha$ 的最大值为 $OP$ 与 $y$ 轴的夹角，即 $\angle COA=\arctan\dfrac23$．