每日一题[2395]同余分划

已知 $S$ 是集合 $\{1,2,3,\cdots,2021\}$ 的子集，且 $S$ 中的任何两个不同元素之和不是 $5$ 的倍数，则 $S$ 中的元素个数的最大值为（       ）

A．$808$

B．$809$

C．$810$

D．$811$

答案    C．

解析    按照模 $5$ 的余数对集合 $\{1,2,3,\cdots,2021\}$ 进行分划，有 $$\begin{split} A_0=\{5,10,\cdots,2020\},\\ A_1=\{1,6,\cdots,2021\},\\ A_2=\{2,7,\cdots,2017\},\\ A_3=\{3,8,\cdots,2018\},\\ A_4=\{4,9,\cdots,2019\},\end{split}$$ 其中 $\mathop{\rm Card}(A_0)=404$，$\mathop{\rm Card}(A_1)=405$，$\mathop{\rm Card}(A_2)=404$，$\mathop{\rm Card}(A_3)=404$，$\mathop{\rm Card}(A_0)=404$．因此取 $A_1\cup A_2$，再取 $A_0$ 中的任意一个元素，可得符合题意的集合 $S$，且 $$\mathop{\rm Card}(S)=405+404+1=810.$$ 当 $\mathop{\rm Card}(S)\geqslant 811$ 个时，必然会出现 $S$ 中的两个不同元素 $a,b$ 满足下列情形之一： ① $a,b\in A_0$； ② $a\in A_1$ 且 $b\in A_4$； ③ $a\in A_2$ 且 $b\in A_3$． 不符合题意． 综上所述，$S$ 中的元素个数的最大值为 $810$．