每日一题[2392]补形

已知三棱锥 $D-ABC$ 中，$AC=BC=AD=BD=1$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积的最大值为（       ）

A．$\dfrac{\sqrt 2}{24}$

B．$\dfrac{\sqrt 2}{12}$

C．$\dfrac{2\sqrt 3}{27}$

D．$\dfrac{\sqrt 3}{9}$

答案    C．

解析    如图，四面体 $ABCD$ 的外接平行六面体的上下底面为菱形，其余各侧面是全等的矩形．

设 $AB=2m$，$CD=2n$，$AA_1=h$，则

$$AD=\sqrt{AA_1^2+A_1D^2}=\sqrt{m^2+n^2+h^2}=1\implies m^2+n^2+h^2=1,$$ 此时三棱锥 $D-ABC$ 的体积 $$[D-ABC]=\dfrac 16\cdot 2m\cdot 2n\cdot h=\dfrac 23mnh\leqslant \dfrac 23\cdot \left(\dfrac{m^2+n^2+h^2}3\right)^{\frac 32}=\dfrac{2\sqrt 3}{27},$$ 等号当 $m=n=h=\dfrac{1}{\sqrt 3}$ 时取得，因此所求体积的最大值为 $\dfrac{2\sqrt 3}{27}$．