每日一题[2391]容斥

已知正整数 $m,n$ 的最大公约数为 $10!$，最小公倍数为 $50!$，则满足要求的 $(m,n)$ 的组数为（       ）

A．$2^{5}$

B．$2^{10}$

C．$2^{15}$

D．$2^{20}$

答案    C．

解析    设 $m=10!\cdot x$，$n=10!\cdot y$，其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $x,y$ 互质，则根据题意，有 $$mn=\gcd(m,n)\cdot \mathop{\rm lcm}(m,n)\iff xy=11\cdot 12\cdot 13\cdots 50,$$ 而 $50$ 以内的质数有 $$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,$$ 共 $15$ 个，记为 $p_i$（$i=1,2,\cdots,15$），于是 $$xy=\prod_{i=1}^{15}p_i^{k_i},$$ 注意到 $x,y$ 互质，因此符合要求的 $(x,y)$ 共有 $2^{15}$ 组，也即符合要求的 $(m,n)$ 共有 $2^{15}$ 组．