已知正整数 $m,n$ 的最大公约数为 $10!$，最小公倍数为 $50!$，则满足要求的 $(m,n)$ 的组数为（ ）
A．$2^{5}$
B．$2^{10}$
C．$2^{15}$
D．$2^{20}$
答案 C．
解析 设 $m=10!\cdot x$，$n=10!\cdot y$，其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $x,y$ 互质，则根据题意，有\[mn=\gcd(m,n)\cdot \mathop{\rm lcm}(m,n)\iff xy=11\cdot 12\cdot 13\cdots 50,\]而 $50$ 以内的质数有\[2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,\]共 $15$ 个，记为 $p_i$（$i=1,2,\cdots,15$），于是\[xy=\prod_{i=1}^{15}p_i^{k_i},\]注意到 $x,y$ 互质，因此符合要求的 $(x,y)$ 共有 $2^{15}$ 组，也即符合要求的 $(m,n)$ 共有 $2^{15}$ 组．