每日一题[2371]临界情形

已知 $f(x)=|\lg x|-kx-2$，给出下列四个结论：

① 若 $k=0$，则 $f(x)$ 有两个零点；

② 存在 $k<0$，使得 $f(x)$ 有一个零点；

③ 存在 $k<0$，使得 $f(x)$ 有三个零点；

④ 存在 $k>0$，使得 $f(x)$ 有三个零点． 以上正确结论的序号是_______．

答案    ①②④．

解析    函数 $f(x)$ 的零点个数即过定点 $P(0,2)$ 的直线 $l:y=kx+2$ 和函数 $g_1(x)=\lg x,x\in (0,1]$ 以及函数 $g_2(x)=\lg x,x\in (1,+\infty)$ 的公共点个数之和．考虑到过点 $(0,2)$ 与函数 $g_1(x)$ 的图象相切的切线方程为

$$y=-\dfrac{{\rm e}}{100\ln 10}x+2,$$ 切点 $A$ 横坐标为 $\dfrac{{\rm e}}{100}$，与函数 $g_2(x)$ 的图象相切的切线方程为 $$y=\dfrac{1}{100{\rm e}\ln 10}x+2,$$ 切点 $B$ 横坐标为 $100{\rm e}$．

记 $Q(1,0)$，结合临界点 $k=0$，讨论如下

$$\begin{array}{c|ccccccccc}\hline k&\left(-\infty,k_{PA}\right)&k_{PA}&\left(k_{PA},k_{PQ}\right)&k_{PQ}&\left(k_{PQ},0\right)&0&\left(0,k_{PB}\right)&k_{PB}&\left(k_{PB},+\infty\right)\\ \hline \text{与 }g_1(x)\text{ 公共点个数}&0&1&2&2&1&1&1&1&1\\ \hline \text{与 }g_2(x)\text{ 公共点个数}&0&0&0&0&1&1&2&1&0\\ \hline f(x)\text{ 的零点数}&0&1&2&2&2&2&3&2&1\\ \hline \end{array}$$ 综上所述，结论 ①②④ 正确，结论 ③ 错误．