每日一题[2370]规范表达

数列 $\{a_n\}$ 是递增的整数数列,且 $a_1\geqslant 3$,$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=100$,则 $n$ 的最大值为(       )

A.$9$

B.$10$

C.$11$

D.$12$

答案    C.

解析    根据题意,有\[a_{k+1}\geqslant a_k+1\implies a_k\geqslant a_1+(k-1)\implies a_k\geqslant k+2,\]其中 $k\in\mathbb N^{\ast}$.因此\[100=a_1+a_2+\cdots+a_n\geqslant \dfrac 12n^2+\dfrac 52n,\]从而\[n(n+5)\leqslant 200\implies n\leqslant 12,\]而当 $a_k=k+2$($k=1,2,\cdots,11$)时,等号可以取得,因此 $n$ 的最大值为 $11$.

备注   只有“要想$n$最大,前面的项应该越小越好”的想法是不够的,需要逻辑严密的进行推导.

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每日一题[2370]规范表达》有1条回应

  1. 殊世惊宇说:

    这题应该是11吧,12项和最小是\[\frac{3+14}2\cdot12=102\]已经超了100,出错原因在于上面求和时把首项当成了1,实际最小为3.
    ps:我在QQ那边给你发消息了,你应该没看见.

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