每日一题[2356]双对称

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$f(x+1)$ 为奇函数，$f(x+2)$ 为偶函数，当 $x\in [1,2]$ 时，$f(x)=ax^2+b$．若 $f(0)+f(3)=6$，则 $f\left(\dfrac{9}{2}\right)=$ （       ）

A．$-\dfrac{9}{4}$

B．$-\dfrac{3}{2}$

C．$\dfrac{7}{4}$

D．$\dfrac{5}{2}$

答案    D．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} f(x+1)+f(-x+1)=0,\\ f(x+2)=f(-x+2),\end{cases}$$ 因此对函数 $f(x)$ 而言，当自变量和为 $2$ 时函数值互为相反数，当自变量和为 $4$ 时函数值相等，从而 $f(1)=0$ 且 $$f(0)=-f(2)=-4a-b,\quad f(3)=f(1)=a+b,$$ 结合 $f(0)+f(3)=6$，解得 $a=-2$，$b=2$，因此 $$f\left(\frac{9}{2}\right)=f\left(-\dfrac 12\right)=-f\left(\dfrac 52\right)=-f\left(\dfrac 32\right)=\dfrac 52.$$