每日一题[2307]分离变量

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-ax^2$（$a$ 为常数），则下列结论正确的有（       ）

A．若 $f(x)$ 有 $3$ 个零点，则 $a$ 的范围为 $\left(\dfrac{{\rm e}^2}4,+\infty\right)$

B．$a=\dfrac{\rm e}2$ 时，$x=1$ 是 $f(x)$ 的极值点

C．$a=\dfrac12$ 时，$f(x)$ 的零点 $x_0$ 满足 $-1<x_0<-\dfrac12$

D．$a=1$ 时，$f(x)\geqslant0$ 恒成立

答案    AC．

解析    先考虑函数 $f(x)$ 的零点．由于

$$f(x)=0\iff \dfrac{{\rm e}^x}{x^2}=a,$$ 设左侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-2)}{x^3},$$ 因此 $g(x)$ 的单调性如下 $$\begin{array}{c|cccccccc}\hline x&-\infty&(-\infty,0)&0^-&0^+&(0,2)&2&(2,+\infty)&+\infty\\ \hline g(x)&0^+&\nearrow&+\infty&+\infty&\searrow&\dfrac{{\rm e}^2}4&\nearrow&+\infty \\ \hline \end{array}$$ 从而选项 $\boxed{A}$ 正确．考虑到 $$g(-1)=\dfrac1{\rm e}<\dfrac 12,\quad g\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac{4}{\sqrt{\rm e}}>\dfrac 12,$$ 因此选项 $\boxed{C}$ 正确． 由于 $$\forall x\in\mathbb R,f(x)\geqslant 0\iff \forall x\in \mathbb R^{\ast},g(x)\geqslant a,$$ 因此 $a=1$ 时，$f(x)\ge0$ 不恒成立，选项 $\boxed{D}$ 错误． 当 $a=\dfrac{\rm e}2$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)={\rm e}^x-{\rm e}x\geqslant 0,$$ 因此 $x=1$ 是函数 $f'(x)$ 的保号零点，不是 $f(x)$ 的极值点，选项 $\boxed{B}$ 错误． 综上所述，正确的结论有选项 $\boxed{A}$ 和 $\boxed{C}$．