每日一题[2254]三角不等式

已知 $|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|=2$，则 $3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|$ 的最大值是_______；最小值是_______．

答案    $10$；$4$．

解析    一方面，有 $$3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|\leqslant 3(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)+2(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)=5(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)=10,$$ 等号当 $|\boldsymbol b|=0$ 时取得． 另一方面，有 $$\begin{cases} |\boldsymbol a+\boldsymbol b|+|\boldsymbol a-\boldsymbol b|\geqslant |(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+(\boldsymbol a-\boldsymbol b)|=2|\boldsymbol a|,\\ |\boldsymbol a+\boldsymbol b|+|\boldsymbol a-\boldsymbol b|\geqslant|(\boldsymbol a+\boldsymbol b)-(\boldsymbol a-\boldsymbol b)|=2|\boldsymbol b|,\end{cases}$$ 而 $$3|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a -\boldsymbol b|\geqslant 2|\boldsymbol a+\boldsymbol b|+2|\boldsymbol a-\boldsymbol b|=2(|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|)=4,$$ 等号当 $|\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|=1$ 且 $\boldsymbol a$ 与 $\boldsymbol b$ 反向时取得． 综上所述，所求最大值为 $10$，最小值为 $4$．