已知实数 a,b,c 均不等于 0,且 a+b+c=m,a2+b2+c2=m22,求 a(m−2a)2+b(m−2b)2+c(m−2c)2abc 的值.
答案 12.
解析 设 a,b,c 是关于 t 的三次方程的三个根,由于ab+bc+ca=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)2=m24,
于是根据三次方程的韦达定理,有t3−mt2+m24t−abc=0⟺4abc=t(m−2t)2,
因此a(m−2a)2=b(m−2b)2=c(m−2c)2=4abc,
从而所求代数式的值为 12.