每日一题[2239]大浪淘沙

若存在正整数 $n$，使得 $3^m\mid \left(1!+2!+\cdots+n!\right)$，则正整数 $m$ 的最大值是_______．

答案    $4$．

解析    设 $f(n)=1!+2!+\cdots+n!$，则 $$\begin{array} {c|cccccccccccc}\hline n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline f(n)\pmod 3&1&0&0&\cdots&&&&&&&& \\ \hline f(n)\pmod {3^2}&1&3&0&6&0&0&\cdots&&&&&\\ \hline f(n)\pmod {3^3}&1&3&9&6&18&9&0&9&9&\cdots&&\\ \hline f(n)\pmod {3^4}&1&3&9&33&72&63&0&63&\cdots&&\\ \hline f(n)\pmod {3^5}&1&3&9&33&153&144&81&63&144&225&144&\cdots\\ \hline\end{array}$$ 因此正整数 $m$ 的最大值为 $4$（此时对应的 $n$ 为 $7$）．