每日一题[2238]置换放缩

设 $a$ 为正实数，函数 $f(x)=a {\rm e}^{a x}-\sqrt{x}$ 存在零点 $x_{1}, x_{2}$（$x_{1}<x_{2}$），且存在极值点 $x_{0}$．

1、当 $a=1$ 时，求曲线 $f(x)$ 在 $(1, f(1))$ 处的切线方程．

2、求 $a$ 的取值范围，并证明：$2 x_{1}+3 x_{0}>3$．

解析

1、当 $a=1$ 时，函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=a^2{\rm e}^{ax}-\dfrac{1}{2\sqrt x}={\rm e}^x-\dfrac{1}{2\sqrt x},$$ 因此 $f(1)={\rm e}-1$，$f'(1)={\rm e}-\dfrac 12$，于是所求切线方程为 $$y=f(1)+f'(x)(x-1)\iff y=\left({\rm e}-\dfrac 12\right)x-\dfrac 12.$$

2、函数 $f'(x)$ 单调递增，考虑到当 $x\to 0+$ 时，$f'(x)\to -\infty$，当 $x\to +\infty$ 时，$f'(x)\to +\infty$，进而可得函数 $f'(x)$ 有唯一零点，即函数 $f(x)$ 的极值点 $x_0$，结合当 $x\to 0+$ 时，$f(x)\to a$，当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$，于是

$$\begin{cases} a^2{\rm e}^{ax_0}-\dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}=0,\\ a{\rm e}^{ax_0}-\sqrt{x_0}<0,\end{cases}\implies \begin{cases} {\rm e}^{ax_0}=\dfrac{1}{2a^2\sqrt{x_0}},\\ 2ax_0>1,\end{cases}$$ 因此 $$\sqrt{ax_0}{\rm e}^{ax_0}=\dfrac{1}{2a\sqrt a}>\dfrac{\sqrt {2{\rm e}}}2,$$ 从而 $a$ 的取值范围是 $\left(0,\dfrac{1}{\sqrt[3]{2{\rm e}}}\right)$．进而 $$2x_1+3x_0>2\left(a{\rm e}^{ax_1}\right)^2+\dfrac{3}{2a}>2a^2+\dfrac 3{4a}+\dfrac{3}{4a}\geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac 98}>3,$$ 命题得证．