每日一题[2205]垂径定理

已知椭圆 $C:ax^2+y^2=2$ 焦点在 $x$ 轴上，设坐标原点为 $O$，椭圆 $C$ 的左焦点为 $F(-2,0)$．

1、求椭圆 $C$ 的离心率．

2、分别过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1,l_2$，且 $l_1$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，$l_2$ 交直线 $x=-3$ 于点 $D$，则四边形 $OADB$ 能否为平行四边形？若能，求出其面积；若不能，请说明理由．

解析

1、根据题意，有

$$\dfrac 2a-2=(-2)^2\iff a=\dfrac 13,$$ 于是椭圆方程为 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}2=1$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 6}{3}$．

2、当 $l_1\perp x$ 轴时，$AB$ 不平分 $OD$，因此四边形 $OADB$ 不为平行四边形． 当 $l_1$ 不与 $x$ 轴垂时，设 $AB$ 与 $OD$ 交于点 $M(m,n)$，则 $M$ 平分 $OD$ 即 $m=-\dfrac 32$；根据椭圆的垂径定理，$M$ 平分 $AB$ 即直线 $AB$ 与直线 $OD$ 的斜率之积为 $-\dfrac 13$，也即

$$\dfrac{n}{m+2}\cdot \dfrac nm=-\dfrac 13,$$ 从而 $M\left(-\dfrac 32,\pm\dfrac 12\right)$，$D(-3,\pm 1)$．因此四边形 $OADB$ 可以为平行四边形，此时直线 $AB$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}4$ 或 $\dfrac{3\pi}4$，根据焦点弦长公式，有 $$|AB|=\dfrac{2\cdot \sqrt 6\cdot 2}{2+4\sin^2\dfrac{\pi}4}=\sqrt 6,$$ 因此平行四边形 $OADB$ 的面积 $$[OADB]=2[ADB]=|AB|\cdot |DF|=\sqrt 6\cdot \sqrt 2=2\sqrt 3.$$