每日一题[2205]垂径定理

已知椭圆 $C:ax^2+y^2=2$ 焦点在 $x$ 轴上,设坐标原点为 $O$,椭圆 $C$ 的左焦点为 $F(-2,0)$.

1、求椭圆 $C$ 的离心率.

2、分别过 $F$ 作两条互相垂直的直线 $l_1,l_2$,且 $l_1$ 交椭圆于 $A,B$ 两点,$l_2$ 交直线 $x=-3$ 于点 $D$,则四边形 $OADB$ 能否为平行四边形?若能,求出其面积;若不能,请说明理由.

解析

1、根据题意,有\[\dfrac 2a-2=(-2)^2\iff a=\dfrac 13,\]于是椭圆方程为 $\dfrac{x^2}6+\dfrac{y^2}2=1$,离心率为 $\dfrac{\sqrt 6}{3}$.

2、当 $l_1\perp x$ 轴时,$AB$ 不平分 $OD$,因此四边形 $OADB$ 不为平行四边形. 当 $l_1$ 不与 $x$ 轴垂时,设 $AB$ 与 $OD$ 交于点 $M(m,n)$,则 $M$ 平分 $OD$ 即 $m=-\dfrac 32$;根据椭圆的垂径定理,$M$ 平分 $AB$ 即直线 $AB$ 与直线 $OD$ 的斜率之积为 $-\dfrac 13$,也即\[\dfrac{n}{m+2}\cdot \dfrac nm=-\dfrac 13,\]从而 $M\left(-\dfrac 32,\pm\dfrac 12\right)$,$D(-3,\pm 1)$.因此四边形 $OADB$ 可以为平行四边形,此时直线 $AB$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}4$ 或 $\dfrac{3\pi}4$,根据焦点弦长公式,有\[|AB|=\dfrac{2\cdot \sqrt 6\cdot 2}{2+4\sin^2\dfrac{\pi}4}=\sqrt 6,\]因此平行四边形 $OADB$ 的面积\[[OADB]=2[ADB]=|AB|\cdot |DF|=\sqrt 6\cdot \sqrt 2=2\sqrt 3.\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了, 标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论