每日一题[2202]保值区间

已知实数列| $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n^2-2$，且存在正实数 $m$，使得 $|a_n|\leqslant m$ 恒成立，则 $a_{2021}$ 的最小值是_______．

答案    $-2$．

解析    设迭代函数为 $f(x)=x^2-2$，利用迭代函数法处理，如图．

当 $a_1>2$ 时，有 $$\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}=a_n+2>4,$$ 于是 $\{a_n\}$ 无上界，不符合题意； 当 $a_1\in [-2,2]$ 时，有 $|a_n|\leqslant 2$，符合题意． 当 $a_1<-2$ 时，$a_2>2$，进而当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}=a_n+2>4,$$ 于是 $\{a_n\}$ 无上界，不符合题意； 综上所述，有 $|a_{2021}|\leqslant 2$，接下来验证 $a_{2021}$ 是否可以取得 $-2$．设 $a_n=2\cos\theta_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），$\theta_{2021}=\pi$，则 $$\theta_{n-1}=\dfrac 12\theta_n,n\in\mathbb N^{\ast},n\geqslant 2,$$ 因此取 $a_1=2\cos\dfrac{\pi}{2^{2020}}$ 即可．因此 $a_{2021}$ 的最小值为 $-2$．