每日一题[2201]一波三折

已知 $f$ 是从集合 $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ 到整数集的映射，且 $f (0) =0$，$f (6) =12$，且对任意 $x, y\in A$，都有

$$|x-y| \leqslant|f(x)-f(y)| \leqslant 3|x-y|,$$ 则符合要求的映射 $f$ 的个数为_______．

答案    $185$．

解析    由于 $1\leqslant |f(n)-f(n+1)|\leqslant 3$，若 $f$ 递减了 $k$ 次，那么

$$12=f(6)\leqslant -1\cdot k+3(6-k)=18-4k,$$ 因此 $f$ 最多递减 $1$ 次．

情形一       $f$ 递减次数为 $0$．此时 $f(n+1)-f(n)\in \{1,2,3\}$，设 $f(n+1)-f(n)$（$n=0,1,2,3,4,5$）中递增 $1,2,3$ 的次数分别为 $a,b,c$．于是

$$\begin{cases} a+b+c=6,\\ a+2b+3c=12,\end{cases}\implies b+2c=6,$$ 于是 $$(b,c)=(6,0),(4,1),(2,2),(0,3),$$ 对应的 $a$ 分别为 $0,1,2,3$，对应的映射 $f$ 的个数为 $$\dbinom{6}{0~6~0}+\dbinom{6}{1~4~1}+\dbinom{6}{2~2~2}+\dbinom{6}{3~0~3}=1+30+90+20=141.$$

情形二     $f$ 递减次数为 $1$．如果递减发生在 $f(0)-f(1)$ 或 $f(5)-f(6)$，则 $f(2)$ 或 $f(4)$ 可以分别确定．于是

$$\begin{cases} a+b+c=4,\\ a+2b+3c=10,\end{cases}$$ 于是 $$(a,b,c)=(1,0,3),(0,2,2),$$ 对应的映射 $f$ 的个数为 $$2\left[\dbinom{4}{1~0~3}+\dbinom{4}{0~2~2}\right]=20.$$ 如果递减发生在 $f(n)-f(n+1)$（$n=1,2,3,4$），注意到 $$|(n+1)-(n-1)|\leqslant |f(n+1)-f(n-1)|\leqslant |f(n+1)-f(n-1)|\implies f(n+1)-f(n-1)\geqslant 2,$$ 于是 $f(n)-f(n+1)=1$，且 $$f(n+2)-f(n+1)=f(n)-f(n-1)=3,$$ 因此 $f(n-1),f(n+2)$ 的值均决定于 $f(n)$ 的值，且 $$f(n+2)-f(n-1)=5,$$ 所以还需要确定其他的 $3$ 个值，且递增总和为 $7$，只可能为 $1+3+3$ 或 $2+2+3$，进而对应的映射 $f$ 为 $$2(3+3)=24.$$

综上所述，所求不同的映射总数为 $141+20+24=185$．