每日一题[2185]暴力计算

设 $a,b\in\mathbb R$，若 $x{\rm e}^x-\ln x\geqslant ax^2+b+1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则当 $ab$ 取得最大值时，$\dfrac 1a+2\ln b=$_______．

答案    $-2\ln 2$．

解析    当 $a$ 确定时，$b$ 的最大值为函数 $f_a(x)=x{\rm e}^x-\ln x-ax^2-1$ 的最小值，因此考虑 $a\geqslant 0$ 时，$a\cdot \max f_a(x)$ 何时取得最大值． 函数 $f_a(x)$ 的导函数

$$f_a'(x)={\rm e}^x(1+x)-\dfrac 1x-2ax,$$ 其最小值为 $f_a(t)$，其中 $$a=\dfrac{{\rm e}^t(t^2+t)-1}{2t^2},$$ 于是 $$f_a(t)=\dfrac {{\rm e}^t(t-t^2)-2\ln t-1}2,$$ 因此 $$ab=\dfrac{{\rm e}^t(t^2+t)-1}{2t^2}\cdot \dfrac {{\rm e}^t(t-t^2)-2\ln t-1}2,$$ 设右边为 $g(t)$，则其导函数 $$g'(t)=-\dfrac{\left(2+{\rm e}^tt(-1+t+t^2)\right)\left({\rm e}^tt^2+\ln t\right)}{2t^3},$$ 于是当 $${\rm e}^tt^2+\ln t=0\iff {\rm e}^t\cdot t=\dfrac 1t\cdot\ln \dfrac 1t\iff \begin{cases} {\rm e}^t=\dfrac 1t,\\ \ln t=-t\end{cases}$$ 时，$ab$ 取得最大值．此时 $$\dfrac 1a+2\ln b=2t+2\ln \dfrac t2=-2\ln 2.$$