每日一题[2184]切割线放缩

对于任意的正实数 $a,b,c$，且 $a+b+c=3$，求证：

$$\dfrac {a}{b^3+2}+\dfrac{b}{c^3+2}+\dfrac{c}{a^3+2}>\dfrac 56.$$

解析

设 $f(x)=\dfrac{1}{x^3+2}$，取割线 $y=m-kx$（$k>0$），若有

$$\dfrac{1}{x^3+2}\geqslant m-kx,$$ 则有 $$\sum_{\rm cyc}\dfrac {a}{b^3+c}\geqslant \sum_{\rm cyc}a(m-kb)=m\sum_{\rm cyc}a-k\sum_{\rm cyc}ab\geqslant 3m-3k.$$ 为了满足要求割线必然通过点 $\left(0,\dfrac 12\right)$，于是 $m=\dfrac 12$，此时 $$k\geqslant \dfrac{x^2}{2(x^3+2)},$$ 设右侧函数为 $g(x)$，则其导函数 $$g'(x)=\dfrac{x(4-x^3)}{2(x^3+2)^2},$$ 于是可得 $k$ 的最小值为 $g\left(\sqrt[3]4\right)=\dfrac{\sqrt[3]2}{6}$，因此可得 $$\sum_{\rm cyc}\dfrac {a}{b^3+c}\geqslant \dfrac {9-3\sqrt[3]2}6=5.22\cdots,$$ 命题得证．

备注

事实上，为了得到右边，只需要取 $k=\dfrac 29$ 即可，此时辅助不等式即

$$\dfrac{1}{x^3+2}\geqslant \dfrac 12-\dfrac 29x\iff x\left(4x^3-9x^2+8\right)\geqslant 0,$$ 而 $$4x^3-9x^2+8=8-\dfrac{2x\cdot 2x\cdot (9-4x)}4\geqslant 8-\dfrac{27}{4}=\dfrac 54,$$ 因此辅助不等式成立．