每日一题[2180]拼邮票

若正整数 $n$ 满足：给定不限数量的 $5,n,n+1$ 分的邮票，使得 $91$ 分是最大的不能被直接拼出的邮费，则所有这样的正整数 $n$ 的和为_______．

答案    $71$．

解析    我们有引理：当 $a,b$ 是互素的正整数时，不能用 $ma+nb$（$m,n\in\mathbb N$）表示的最大正整数为 $ab-a-b$．

若 $5\mid n$，则 $$5(n+1)-5-(n+1)=91\iff n=23,$$ 不符合题意 若 $5\mid (n+1)$，则 $$5n-n-5=91\iff n=24,$$ 符合题意．

若 $5\nmid n$ 且 $5\nmid (n+1)$，此时有 $$5n-n-5\geqslant 91\implies 25\leqslant n\leqslant 90.$$ 由于 $91$ 不可拼出，于是拼 $96$ 的方案不包含 $5$，设拼 $96$ 时用了 $k$ 张邮票，则 $$25k\leqslant nk\leqslant 96\leqslant (n+1)k\leqslant 91k,$$ 于是可能的解为 $$(k,n)=(2,47),(2,48),(3,31),(3,32),(4,23),$$

验证如下：

$n=47$ 时，符合；

$n=48$ 时，无法拼出 $92$；

$n=31$ 时，$91=31+5\cdot 12$，可以拼出 $91$；

$n=32$ 时，$91=33\cdot 2+5\cdot 5$，可以拼出 $91$；

$n=23$ 时，$91=24\cdot 2+23+5\cdot 4$，可以拼出 $91$．

综上所述，所有符合题意的 $n$ 为 $24,47$，和为 $24+47=71$．