每日一题[2169]庖丁解牛

如果 $n$ 能被 $k$ 整除且 $n$ 恰好有 $k$ 个正约数，则称 $n$ 为 $k$ 性质数．例如 $18$ 能被 $6$ 整除，且 $18$ 恰好有 $1,2,3,6,9,18$ 共 $6$ 个约数，因此 $18$ 为 $6$ 性质数．设 $S$ 为不超过 $2019$ 的所有 $20$ 性质数之和，则 $\dfrac{S}{20}=$________．

答案    $472$．

解析    由于 $20$ 性质数有 $20$ 个约数，而 $20=4\cdot 5=2\cdot 10= 2\cdot 2\cdot 5$，从而 $n$ 可能的形式分别为 $p^3q^4,pq^9,pqr^4$，其中 $p, q, r$ 是不同的质数．

情形一     $n=p^3q^4$．此时只可能为 $(p, q) = (2, 5)$，$n=2000$．

情形二     $n=pq^9$．此时最小 $n$ 为 $(p, q) = (5, 2)$ 时对应的 $2560$，不符合题意．

情形三     $n=pqr^4$．此时 $r=2$，且 $p, q$ 中必然有一个为 $5$，剩下一个是不超过 $\dfrac{2019}{2^4\cdot 5}=25. \cdots$ 且不为 $2, 5$ 的质数，可能为 $3, 7, 11, 13, 17, 19, 23$． 因此所求 $20$ 性质数之和为

$$S=20(100+4(3+7+11+13+17+19+23)=20 \cdot 472,$$ 因此所求 $\dfrac{S}{20}=472$．