每日一题[2151]端点分析

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}x$，$h(x)=af(x)+2f(-x)+(2a-4){\rm e}x$（$a\in\mathbb R$ 且 $a\ne0$）．

1、讨论函数 $y=f(ax)$ 的单调性．

2、当 $x\geqslant0$ 时，$h(x)\geqslant(a+2)\cos x+({\rm e}-1)(a-2)x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)={\rm e}^x-{\rm e},$$ 于是 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增．因此函数 $f(ax)$ 在 $\left(-\infty,\dfrac 1a\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac 1a,+\infty\right)$ 上单调递增．

2、设

$$g(x)=h(x)-(a+2)\cos x-({\rm e}-1)(a-2)x,$$ 则 $$g(x)=a{\rm e}^{x}+2{\rm e}^{-x}+(a-2)x-(a+2)\cos x,$$ 且 $g(x)$ 的导函数 $$g'(x)=a{\rm e}^x-2{\rm e}^{-x}+(a-2)+(a+2)\sin x,$$ 考虑到 $g(0)=0$，$g'(0)=2a-4$，于是讨论分界点为 $a=2$．

情形一    $a<2$．若 $a\leqslant 0$，则

$$g(x)\leqslant 2{\rm e}^{-x}+(a-2)x-a+2,$$ 进而 $$g(2)=\dfrac{2}{{\rm e}^2}-2+a<0,$$ 不符合题意． 若 $0<a<2$，则在区间 $x\in (0,1)$ 上，有 $$g'(x)<a(({\rm e}-1)x+1)-(2x+2)+(a-2)+(a+2)x=a({\rm e}x+2)-4,$$ 因此当 $0<x<\dfrac{4}{a{\rm e}}-\dfrac{2}{\rm e}$ 时，有 $g'(x)<0$，从而在此区间上 $g(x)$ 单调递减，结合 $g(0)=0$，不符合题意．

情形二      $a\geqslant 2$．此时当 $x\geqslant \pi$ 时，有

$$g'(x)\geqslant a{\rm e}^{\pi}-2+(a-2)-(a+2)>2{\rm e}^{\pi}-6>0,$$ 当 $0\leqslant x<\pi$ 时，有 $$g'(x)\geqslant a(x+1)-2+(a-2)\geqslant 0,$$ 因此 $g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，结合 $g(0)=0$，符合题意．

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$．