每日一题[137] 构造二次函数

设$f(x)=\ln\dfrac{1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a}{n}$，其中$a\in (0,1]$，$n$是任意给定的自然数，且$n\geqslant 2$，证明：当$x\neq 0$时，$2f(x)<f(2x)$．

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解    当$x\neq 0$时，有

$$f(2x)-2f(x)=\ln\dfrac{n(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a)}{\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2},$$ 因此只需要证明 $$n\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)>\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2.$$ 构造二次函数 $$f(t)=\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)t^2-2\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)t+n,$$ 则当$a\in (0,1]$时，有 $$f(t)=(t-1)^2+\left(2^xt-1\right)^2+\cdots+a\left(n^xt-1\right)^2+(1-a)\geqslant 0.$$ 考虑到$x\neq 0$，于是上述不等式中的等号无法取得，因此有$f(t)>0$．因此该二次函数的判别式 $$\Delta=4\left(1+2^x+3^x+\cdots+(n-1)^x+n^x\cdot a\right)^2-4n\left(1+2^{2x}+3^{2x}+\cdots+(n-1)^{2x}+n^{2x}\cdot a\right)<0,$$ 原命题得证．

注    也可以对$n$进行数学归纳证明．

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练习1    已知$a>0$，$2b>a+c$，求证：$b-\sqrt{b^2-ac}<a<b+\sqrt{b^2-ac}$．

练习2    已知$\left\{a_n\right\}$是由正数组成的等比数列，$\left\{S_n\right\}$是它的前$n$项和．证明：$S_nS_{n+2}<S_{n+1}^2$．

练习3    已知$(c-a)^2-4(a-b)(b-c)=0$，求证：$a,b,c$成等差数列．

提示

1、构造二次函数$f(x)=ax^2-2bx+c$．

2、构造二次函数$f(t)=S_nt^2+2tS_{n+1}+S_{n+2}$．

3、构造二次方程$(a-b)x^2+(c-a)x+(b-c)=0$．