每日一题[136] 平面向量上的“攻守战”

2013年高考广东卷文科数学第10题(选择压轴题):

设\(\overrightarrow a\)是已知的平面向量且\(\overrightarrow a\neq \overrightarrow 0\),关于向量\(\overrightarrow a\)的分解,有如下四个命题:

①  给定向量\(\overrightarrow b\),总存在向量\(\overrightarrow c\),使\(\overrightarrow a=\overrightarrow b +\overrightarrow c\);

②  给定向量\(\overrightarrow b\)和\(\overrightarrow c\),总存在实数\(\lambda\)和\(\mu\),使\(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b+ \mu \overrightarrow c\);

③  给定单位向量\(\overrightarrow b\)和正数\(\mu\),总存在单位向量\(\overrightarrow c\)和实数\(\lambda\),使\(\overrightarrow a=\lambda \overrightarrow b+\mu \overrightarrow c\);

④  给定正数\(\lambda\)和\(\mu\),总存在单位向量\(\overrightarrow b\)和单位向量\(\overrightarrow c\),使\(\overrightarrow a=\lambda \overrightarrow b+\mu \overrightarrow c\).

上述命题中的向量\(\overrightarrow b\)、\(\overrightarrow c\)和\(\overrightarrow a\)在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是(        )

A.1

B.2

C.3

D.4


cover正确答案是B.

真命题为①②.

对于这类同时包含全称量词和特称量词的命题,我们可以利用“攻守战”来理解.在本题中,作战的大环境为已知非零向量\(\overrightarrow a\),双方作战的基本规则为保证向量\(\overrightarrow a\)、向量\(\overrightarrow b\)、向量\(\overrightarrow c\)在同一个平面内,且两两不共线.在每个命题中 “进攻方”与“防守方”都拥有一定的资源,比如在命题①中,“进攻方”掌握的资源为\(\overrightarrow b\),而作为“防守方”,掌握的资源为\(\overrightarrow c\).我们需要同时扮演双方,并且推断出在双方都足够聪明的情况下,哪一方有必胜的策略.

①  “防守方”必胜.

对任意的向量\(\overrightarrow b\),取\(\overrightarrow c=\overrightarrow a-\overrightarrow b\).考虑到\(\overrightarrow b\)与\(\overrightarrow a\)不共线,于是显然有\(\overrightarrow c\)既不与\(\overrightarrow a\)共线,也不与\(\overrightarrow b\)共线,符合题设.此时就有  \(\overrightarrow a= \overrightarrow b+\overrightarrow c\)成立,“防守方”稳操胜券,因此命题①正确.

②  “防守方”必胜

对任意给定的不共线向量\(\overrightarrow b\)和\(\overrightarrow c\),它们构成平面的一组基底.因此根据平面向量分解的基本定理,平面上的任意向量(包括且不限于向量\(\overrightarrow a\))都可以由向量\(\overrightarrow b\)和\(\overrightarrow c\)唯一线性表示,“防守方”防守得无懈可击,因此命题②正确.

③  “进攻方”必胜

作为“进攻方”,我们首先给出与向量\(\overrightarrow a\)不共线的向量\(\overrightarrow b\).考虑到“防守方”握有实数\(\lambda\),因此\(\lambda \overrightarrow b\)可以遍布向量\(\overrightarrow b\)所在的整条基线.此时考虑“防守方”为了达到目的,就要使得\(\mu \overrightarrow c=\overrightarrow a-\lambda\overrightarrow b\).\(\overrightarrow a-\lambda \overrightarrow b\)有无数种可能,如图.

QQ20150603-1

此时“进攻方”还拥有一张王牌——实数\(\mu\),我们发现“防守方”的重要资源之一向量\(\overrightarrow c\)有致命缺陷——长度为\(1\),于是可以采用以下策略保证“进攻方”必胜:令\(\mu\)为向量\(\overrightarrow a\)的终点到向量\(\overrightarrow b\)的基线距离的一半,则向量\(\mu \overrightarrow c\)会受到长度的限制而无法成为无数个向量\(\overrightarrow a-\lambda \overrightarrow b\)中的任何一个,因此命题③错误.

④  “进攻方”必胜

有了③的经验,这次“进攻方”的获胜要简单很多.由于“防守方”的资源——向量\(\overrightarrow b\)和向量\(\overrightarrow c\)的长度均被限制为\(1\),于是可以令\(\lambda=\mu=\dfrac 13\left|\overrightarrow a\right|\),则无论如何向量\(\lambda \overrightarrow b+\mu \overrightarrow c\)的长度不超过\(\dfrac 23\left|\overrightarrow a\right|\),因此等式\( \overrightarrow a=\lambda \overrightarrow b+\mu \overrightarrow c\)无法成立,“进攻方”轻松获胜,因此命题④错误.

综上,只有命题①②为真命题,正确答案为B.

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