每日一题[2147]辅助数列

已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足关系式 $n\left(a_{n+1}-a_{n}+1\right)=a_{n+1}+a_{n}+1$，$S_{n}$ 表示数列的前 $n$ 项和．下列说法正确的有（       ）

A．若 $a_{2020}$ 是整数，则 $a_{3}$ 一定是整数

B．若 $a_{3}$ 是整数，则 $a_{2020}$ 一定是整数

C．若 $a_{2}=2$，则 $S_{n}=\dfrac{n(n-1)(n+4)}{6}$（$n \in \mathbb{N}^{+}$）

D．若 $\forall n \geqslant 2021$，都有 $a_{n}>0$，则 $a_{2020}$ 的最小值为 $2019$

答案    BD．

解析    根据题意，有

$$(n-1)a_{n+1}=(n+1)a_n+(1-n),$$ 也即 $$\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{a_n}{n-1}-\dfrac1{n+1},$$ 也即 $$\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac{1}{n(n+1)},$$ 也即 $$\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}-\dfrac1{n+1}=\dfrac{a_n}{(n-1)n}-\dfrac 1n=\cdots=\dfrac{a_3-3}6=\dfrac{a_2-1}2,$$ 从而 $$a_n=(n-1)+\dfrac{n(n-1)}6(a_3-3),$$ 进而 $$a_{2020}=2019+1010\cdot 673(a_3-3),$$ 因此选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{B}$ 正确． 若 $a_2=2$，则 $a_1=1$，从而当 $n\geqslant 2$ 时，有 $$a_n=(n-1)+\dfrac{n(n-1)}2,$$ 从而 $$S_n=1+\sum_{k=1}^n\left((k-1)+\dfrac{k(k-1)}2\right)=1+\dfrac{n(n-1)}2+\dfrac{(n+1)n(n-1)}6=\dfrac{n(n-1)(n+4)}6+1,$$ 选项 $\boxed{C}$ 错误． 由于当 $n\geqslant 2021$ 时，有 $$a_n=(n-1)+n(n-1)\cdot \dfrac{a_{2020}-2019}{2020\cdot 2019}=\dfrac{n(n-1)}{2020\cdot 2019}\left(a_{2020}-2019\left(1-\dfrac{2020}n\right)\right),$$ 因此若 $\forall n \geqslant 2021$，都有 $a_{n}>0$，则 $a_{2020}$ 的最小值为 $2019$．