每日一题[2146]古典与几何

正 $2020$ 边形 $A_{1} A_{2} \cdots A_{2020}$ 内接于单位圆 $O$，任取它的两个不同顶点 $A_{i}, A_{j}$，下列选项中正确的有（       ）

A．$\overrightarrow{O A_{i}} \cdot \overrightarrow{O A_{j}}>\dfrac{1}{2}$ 的概率大于 $\dfrac{1}{3}$

B．$\overrightarrow{O A_{i}} \cdot \overrightarrow{O A_{j}}>\dfrac{1}{2}$ 的概率小于 $\dfrac{1}{3}$

C．$\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right|<1$ 的概率大于 $\dfrac{1}{3}$

D．$\left|\overrightarrow{O A_{i}}+\overrightarrow{O A_{j}}\right|<1$ 的概率小于 $\dfrac{1}{3}$

答案    B．

解析    $\overrightarrow{OA_i}\cdot \overrightarrow{OA_j}>\dfrac 12$ 即向量 $\overrightarrow {OA_i}$ 与向量 $\overrightarrow{OA_j}$ 的夹角小于 $\dfrac{\pi}3$，$\left|\overrightarrow{OA_i}\cdot \overrightarrow{OA_j}\right|\geqslant 1$ 即向量 $\overrightarrow {OA_i}$ 与向量 $\overrightarrow{OA_j}$ 的夹角不超过 $\dfrac{2\pi}3$． 不妨设 $i=1010$，则当 $1010-336\leqslant j\leqslant 1010+336$ 且 $j\ne 1010$ 时，向量 $\overrightarrow {OA_i}$ 与向量 $\overrightarrow{OA_j}$ 的夹角小于 $\dfrac{\pi}3$，此时 $j$ 有 $672$ 个，而 $\dfrac{672}{2019}<\dfrac 13$，选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{B}$ 正确． 当 $1010-673\leqslant j\leqslant 1010+673$ 且 $j\ne 1010$ 时，向量 $\overrightarrow {OA_i}$ 与向量 $\overrightarrow{OA_j}$ 的夹角小于 $\dfrac{\pi}3$，此时 $j$ 有 $1346$ 个，而 $\dfrac{1346}{2019}=\dfrac 23$，选项 $\boxed{C}$ 错误，选项 $\boxed{D}$ 错误．