每日一题[2130]和差化积

观察下列等式：

① $\cos 2{\alpha} =2 \cos ^2 {\alpha} -1$；

② $\cos 4{\alpha} =8 \cos ^4 {\alpha} -8 \cos ^2 {\alpha} +1$；

③ $\cos 6{\alpha} =32 \cos ^6 {\alpha} -48 \cos ^4 {\alpha} +18 \cos ^2 {\alpha} -1$；

④ $\cos 8{\alpha} = 128 \cos ^8{\alpha} -256\cos ^6 {\alpha} +160 \cos ^4 {\alpha} -32 \cos ^2 {\alpha} +1$；

⑤ $\cos 10{\alpha} =m\cos ^{10}{\alpha} -1280 \cos ^8{\alpha} +1120\cos ^6 {\alpha} +n\cos ^4 {\alpha} +p \cos ^2 {\alpha} -1$．

可以推测，$m-n+p=$_______．

答案    $962$．

解析    经观察，$\cos {\alpha}$ 的最高次的系数分别为 $2^1$，$2^3$，$2^5$，$2^7$，故 $m=2^9=512$；$\cos ^2\alpha$ 项的系数分别为 $1\times2$，$-2\times4$，$3\times6$，$-4\times8$，故 $p=5\times 10=50$；又每个展开式中的系数和为 $1$（令 $\alpha=0$ 即得）；故 $512-1280+1120+n+50-1=1$，$n=-400$，从而 $$m-n+p=962.$$

备注    事实上，有 $$\cos 8\alpha\cos2\alpha=\dfrac {\cos10\alpha+\cos 6\alpha}2,$$ 于是 $$\cos 10\alpha=2\cos 8\alpha\cos2\alpha-\cos6\alpha,$$ 展开可得 $$m=512,\quad n=2(-160-64)-(-48)=-400,\quad p=2(32+2)-18=50,$$ 从而 $$m-n+p=962.$$