已知正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱长为 $1$，圆 $O_1$ 是四边形 $ABCD$ 的内切圆，圆 $O$ 是四边形 $ABC_1D_1$ 的外接圆．设 $P,Q$ 分别为圆 $O_1$ 和圆 $O_2$ 上的动点，则线段 $PQ$ 的最小值为_______．
$\dfrac{\sqrt3 -\sqrt 2}2$．
解析 如图，$|O_1O_2|=\dfrac 12$．
根据题意，有\[|O_2P|=\sqrt{|O_1O_2|^2+|O_1P|^2}=\sqrt{\dfrac 14+\dfrac14}=\dfrac{\sqrt 2}2,\]且 $\overrightarrow{O_2P}$ 与 $\overrightarrow{O_2Q}$ 的夹角的取值范围是 $\left[0,\pi\right]$，因此所求线段 $PQ$ 的长度的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 3-\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 3+\sqrt 2}2\right]$．