每日一题[2117]三花聚顶

三个底面半径为 $50$，高为 $120$ 的圆锥的底面在同一水平面内且两两外切，在它们之间的空间放置一个球体，若球体与三个圆锥的锥顶确定的平面相切，则球体的半径最接近（       ）

A．$38.1$

B．$38.3$

C．$38.5$

D．$38.7$

E．$38.9$

答案    C．

解析    设三个圆锥的底面中心分别为 $O_1,O_2,O_3$，则从俯视图看，题中球体的球心 $P$ 在水平面上的投影 $H$ 为 $\triangle O_1O_2O_3$ 的中心．设球 $P$ 与圆锥 $O_1$ 切于点 $E$，与三个圆锥锥顶确定的平面切于点 $C$，圆锥 $O_1$ 的锥顶为 $A$，$AE$ 对应的母线为 $AB$，延长 $AB$ 与 $CP$ 交于点 $D$，如图．

设球体的半径为 $r$，则 $\triangle PED\sim\triangle BO_1A$，于是 $DP=\dfrac{13}5r$，因此 $CD=\dfrac{18}5r$，进而

$$AC=\dfrac{5}{12}\cdot \dfrac{18}5r=\dfrac 32r,$$ 而 $AC=HO_1=\dfrac{100}{\sqrt 3}$，从而 $$r=\dfrac{200}{3\sqrt 3}=\dfrac{200\sqrt 3}9=38.4\cdots,$$ 因此选项 $\boxed{C}$ 正确．