每日一题[2107]复杂旋转体

如图，矩形 $ABCD$ 中，$AB=3$，$BC=4$，以 $BD$ 所在的直线为轴将此矩形旋转一周，则所得旋转体的表面积为_______，体积为_______．

答案    表面积为 $\dfrac{3501}{160}\pi$，体积为 $\dfrac{4269}{320}\pi$．

解析    如图，将 $\triangle BAD$ 沿 $BD$ 翻折到与 $\triangle BCD$ 在同一侧，$AD$ 与 $BC$ 交于点 $E$，题中所得的旋转体即折线 $BAECD$ 绕 $BD$ 旋转得到的．

设 $A,E,C$ 在 $BD$ 上的投影分别为 $A_1,E_1,C_1$，以 $B$ 点为原点，$BD$ 方向为 $y$ 轴正方向建立平面直角坐标系，可得 $A(\left(\dfrac{12}5,\dfrac{9}5\right)$，$C\left(\dfrac{12}5,\dfrac{16}5\right)$，$E\left(\dfrac{15}8,\dfrac 52\right)$，$DE=\dfrac{25}8$．因此所得旋转体的表面积为

$$(\pi\cdot AA_1\cdot BA+\pi\cdot AA_1\cdot DA-\pi\cdot EE_1\cdot DE)\cdot 2=\dfrac{3501}{160}\pi.$$ 体积为 $$\left(\dfrac 13\pi\cdot AA_1^2\cdot BA_1+\dfrac 13\pi\cdot AA_1^2\cdot DA_1-\dfrac 13\pi\cdot EE_1^2\cdot DE_1\right)\cdot 2=\dfrac{4269}{320}\pi.$$