每日一题[2105]韦达定理全家福

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为 $A_1(-2,0)$，$A_2(2,0)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，点 $M$ 在 $x$ 轴上，直线 $l$ 经过点 $M$ 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点（异于 $A_1,A_2$ 两点）．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程．

2、 若 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，$O$ 为坐标原点，当 $\triangle AOB$ 的面积取最大值时，求 $|AB|$ 的值．

解析

1、根据题意，椭圆的长轴 $A_1A_2$ 的长为 $4$，于是 $a=2$，结合离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，可得半焦距 $c=\sqrt 3$，因此椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$．

2、根据椭圆的对称性，不妨设直线 $AB$ 的方程为 $x=ty+m$，其中 $t,m\geqslant 0$．联立直线 $AB$ 与椭圆 $C$ 的方程，有

$$\dfrac{(ty+m)^2}4+y^2=1\iff (t^2+4)y^2+2tmy+m^2-4=0,$$ 设 $A,B$ 的纵坐标分别为 $y_1,y_2$，则 $\dfrac{y_1}{y_2}=-2$，因此 $$(2tm)^2=\left(-2+\dfrac1{-2}+2\right)(t^2+4)(m^2-4),$$ 即 $$(t^2+4)(m^2-4)=-8t^2m^2\implies m^2=\dfrac{4(t^2+4)}{9t^2+4}.$$ 而 $\triangle AOB$ 的面积 $$\begin{split} S&=\dfrac 12\cdot m\cdot |y_1-y_2|\\ &=\dfrac m2\cdot \dfrac{\sqrt{(2tm)^2-4(t^2+4)(m^2-4)}}{t^2+4}\\ &=\dfrac{m\sqrt{4t^2m^2-(-32t^2m^2)}}{2(t^2+4)}\\ &=\dfrac{3m^2t}{t^2+4}\\ &=\dfrac{3t\cdot \dfrac{4(t^2+4)}{9t^2+4}}{t^2+4}\\ &=\dfrac{12}{\dfrac 4t+9t} \leqslant 1,\end{split}$$ 等号当 $t=\dfrac 23$ 时取得，此时 $m=\dfrac{2\sqrt 5}3$，进而 $$|AB|=\sqrt{1+t^2}\cdot |y_1-y_2|=\sqrt{1+t^2}\cdot \dfrac{6mt}{t^2+4}=\dfrac{\sqrt{65}}5.$$