每日一题[2104]旋转全等

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $C_1:(x+3)^2+(y-1)^2=4$ 和圆 $C_2:(x-4)^2+(y-5)^2=4$．

1、若直线 $l$ 过点 $A(-4,0)$，且被圆 $C_1$ 截得的最长弦为 $AB$，最短弦为 $CD$，求四边形 $ABCD$ 的面积．

2、设 $P$ 为平面上的点，满足：存在过点 $P$ 的无穷多对互相垂直的直线 $l_1$ 和 $l_2$，它们分别与圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相交，且直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被 $C_2$ 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 $P$ 的坐标．

解析

1、点 $A$ 在圆 $C_1$ 内部，于是直线 $l$ 被圆 $C_1$ 截得的最长弦 $AB$ 为过点 $A$ 的直径，长为 $4$，而最短弦 $CD$ 为与过点 $A$ 的直径垂直于点 $A$ 的弦，长度为

$$2\cdot \sqrt{2^2-|C_1A|^2}=2\sqrt 2,$$ 因此四边形 $ABCD$ 的面积 $$[ABCD]=\dfrac 12\cdot |AB|\cdot |CD|=\dfrac 12\cdot 4\cdot 2\sqrt 2=4\sqrt 2.$$

2、设 $P(x_0,y_0)$，直线 $l_1,l_2$ 的方程分别为

$$\begin{split} l_1:m(x-x_0)+n(y-y_0)=0,\\ l_2:n(x-x_0)-m(y-y_0)=0,\end{split}$$ 那么由直线 $l_1$ 被圆 $C_1$ 截得的弦长与直线 $l_2$ 被 $C_2$ 截得的弦长相等可得 $C_1$ 到 $l_1$ 的距离与 $C_2$ 到 $l_2$ 的距离相等，即 $$\dfrac{|m(-3-x_0)+n(1-y_0)|}{\sqrt{m^2+n^2}}=\dfrac{|n(4-x_0)-m(5-y_0)|}{\sqrt{m^2+n^2}},$$ 于是对于任何实数 $m,n$，均有 $$m(-3-x_0)+n(1-y_0)=\pm\big(n(4-x_0)-m(5-y_0)\big),$$ 即 $$(2-x_0-y_0)m+(-3-y_0+x_0)n=0\lor (-8-x_0+y_0)m+(5-y_0-x_0)n=0,$$ 从而 $$\begin{cases} 2-x_0-y_0=0,\\ -3-y_0+x_0=0,\end{cases}\lor\begin{cases} -8-x_0+y_0=0,\\ 5-y_0-x_0=0,\end{cases}$$ 解得 $(x_0,y_0)=\left(\dfrac 52,-\dfrac 12\right)$ 或 $\left(-\dfrac 32,\dfrac{13}2\right)$．

备注

事实上，$P$ 点的两个位置与 $C_1,C_2$ 构成正方形，如图．也就是说圆 $C_1$ 关于 $P$ 点旋转（逆时针或顺时针）即得圆 $C_2$．