每日一题[2101]分式整理

已知 $a,b,c>0$ 且 $abc=1$，求证： $$\dfrac{ab}{a^5+ab+b^5}+\dfrac{bc}{b^5+bc+c^5}+\dfrac{ca}{c^5+ca+a^5}\leqslant 1.$$

解析    根据排序不等式，有 $$a^5+b^5\geqslant a^3b^2+a^2b^3=a^2b^2(a+b),$$ 于是 $$\sum_{\rm cyc}\dfrac{ab}{a^5+ab+b^5}\leqslant \sum_{\rm cyc}\dfrac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}=\sum_{\rm cyc}\dfrac{1}{ab(a+b+c)}=\dfrac{\sum_{\rm cyc}\dfrac1{ab}}{a+b+c}=1,$$ 原不等式得证．