每日一题[2077]多线共点

平面上给定 $5$ 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线．已知任意两条直线既不平行也不垂直，过 $5$ 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 $5$ 点）个数至多有_______个．

答案    $310$．

解析    $5$ 个点连成 $\dbinom52=10$ 条线，$\dbinom53=10$ 个三角形．考虑每个顶点出发的 $4$ 条垂线交点不计算在内，每条线的 $3$ 条垂线平行，每个三角形的 $3$ 条垂线交于一点，因此所求交点个数最多为

$$\dbinom{\binom42\cdot 5}2-\dbinom{\binom 42}2\cdot 5-\dbinom32\cdot 10-\left(\dbinom32-1\right)\cdot 10=310.$$

备注    一般的，若给定平面上 $n$ 个点，则所求交点个数为

$$\dbinom{\dbinom {n-1}2\cdot n}2-\dbinom{\binom{n-1}2}{2}\cdot n-\dbinom{n-2}{2}\dbinom{n}2-2\dbinom n3=\dfrac{n(n-1)(n-2)(3n^3-12n^2+9n+4)}{24}.$$ 特别的，当 $n=3$ 时，所求交点个数为 $1$；当 $n=6$ 时，所求交点个数为 $1370$．