每日一题[2076]正反皆可

立方体 $8$ 个顶点任意两个顶点所在的直线中,异面直线共有_______对.

答案    $174$.

解析    考虑直线对的总数,为\[\dfrac{\dbinom82\dbinom62}{2!}=210.\]其中共面的 $4$ 点组有 $12$ 个($6$ 个面以及 $6$ 个对角面),每个 $4$ 点组构成 $3$ 对共面直线,因此所求异面直线对数为 $210-12\cdot 3=174$.

另法    考虑 $8$ 个顶点中选出 $4$ 个顶点构成不同的三棱锥的个数.按上下底面所取顶点个数分类,可得三棱锥有\[2\dbinom41\dbinom43+\dbinom42\dbinom42-4\cdot 2-2=58,\]每个三棱锥对应 $3$ 对异面直线,因此所求异面直线共有 $58\cdot 3=174$ 对.

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