每日一题[2078]多项式展开

展开式 $\left(x^2+\dfrac 1x+y^3+\dfrac 1y\right)^{10}$ 中的常数项为_______.

答案    $12600$.

解析    题中展开式通项为\[T(a,b,c,d)=\dfrac{10!}{a!b!c!d!}\left(x^2\right)^a\left(\dfrac 1x\right)^b\left(y^3\right)^c\left(\dfrac 1y\right)^d=\dfrac{10!}{a!b!c!d!}x^{2a-b}y^{3c-d},\]解不定方程组\[\begin{cases} 2a-b=0,\\ 3c-d=0,\\ a+b+c+d=10,\end{cases}\]可得其自然数解为\[(a,b,c,d)=(2,4,1,3),\]因此所求常数项为\[T(2,4,1,3)=\dfrac{10!}{2!4!1!3!}=12600.\]

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