每日一题[2077]多线共点

平面上给定 $5$ 个点,任意三点不共线,过任意两点作直线.已知任意两条直线既不平行也不垂直,过 $5$ 点中任意一点向另外四点的连线作垂线,则所有这些垂线的交点(不包括已知的 $5$ 点)个数至多有_______个.

答案    $310$.

解析    $5$ 个点连成 $\dbinom52=10$ 条线,$\dbinom53=10$ 个三角形.考虑每个顶点出发的 $4$ 条垂线交点不计算在内,每条线的 $3$ 条垂线平行,每个三角形的 $3$ 条垂线交于一点,因此所求交点个数最多为\[\dbinom{\binom42\cdot 5}2-\dbinom{\binom 42}2\cdot 5-\dbinom32\cdot 10-\left(\dbinom32-1\right)\cdot 10=310.\]

备注    一般的,若给定平面上 $n$ 个点,则所求交点个数为\[\dbinom{\dbinom {n-1}2\cdot n}2-\dbinom{\binom{n-1}2}{2}\cdot n-\dbinom{n-2}{2}\dbinom{n}2-2\dbinom n3=\dfrac{n(n-1)(n-2)(3n^3-12n^2+9n+4)}{24}.\]特别的,当 $n=3$ 时,所求交点个数为 $1$;当 $n=6$ 时,所求交点个数为 $1370$.

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