每日一题[2075]间隔染色

是否存在整数集 $\mathbb Z$ 上的函数 $f: \mathbb{Z} \to \{-1,0,1\}$,对任意的整数 $x, y \in \mathbb{Z}$,只要 $|x-y| \in\{2,3,5\}$ 就有 $f(x) \neq f(y)$?证明你的结论.

答案    不存在.

解析    即将数轴上的数为红黄绿三色,使得间距为 $2,3,5$ 的数均不同色.不妨设 $0$ 为红色,$5$ 为黄色,则 $2,3$ 均为绿色. 若 $-5$ 为黄色,则 $-2,-3$ 均为绿色,矛盾. 若 $-5$ 为绿色,则 $-2,-3$ 均为黄色,此时 $-1,1$ 均为红色,矛盾. 综上所述,不存在符合题意的函数 $f$.

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