每日一题[2073]换元

已知 $0<a<b$ ，求证： $\dfrac{\arctan b-\arctan a}{b-a}>\dfrac{1}{\sqrt{1+a^{2}}\cdot \sqrt{1+b^{2}}}$ ．

证明设 $\arctan a=x$ ， $\arctan b=y$ ，则 $0<x<y$ ．题中不等式即

\frac{y - x}{\tan y - \tan x} > \cos x \cos y ⟺ y - x > \sin (y - x),

$\dfrac{y-x}{\tan y-\tan x}>\cos x\cos y\iff y-x>\sin(y-x),$ 这显然成立，命题得证．

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