每日一题[2070]内外心重合

如果 $\cos x+\cos y+\cos z=0$，$\sin x+\sin y=\sin z$，那么 $\cos ^{2} x+\cos ^{2} y+\cos ^{2} z=$ _______．

答案    $\dfrac 32$．

解析    根据题意，有

$$\begin{cases} \cos x+\cos y+\cos (-z)=0,\\ \sin x+\sin y+\sin (-z)=0,\end{cases}$$ 设 $A(\cos x,\sin x)$，$B(\cos y,\sin y)$，$C(\cos (-z),\sin (-z))$，则 $\triangle ABC$ 的外心和重心都是原点 $O(0,0)$，因此 $\triangle ABC$ 为正三角形，不妨设 $(x,y,-z)=\left(\theta,\theta+\dfrac{2\pi}3,\theta+\dfrac{4\pi}3\right)$，所求代数式为 $m$，有 $$\begin{split} m&=\cos^2x+\cos^2y+\cos^2z\\ &=\dfrac{1+\cos 2x}2+\dfrac{1+\cos 2y}2+\dfrac{1+\cos (-2z)}2\\ &=\dfrac 32+\dfrac 12\left(\cos 2\theta+\cos\left(2\theta+\dfrac{4\pi}3\right)+\cos\left(2\theta+\dfrac{8\pi}3\right)\right)\\ &=\dfrac32.\end{split}$$