每日一题[2063]分段处理

已知方程 $2^x-\sin x=1$，则下列判断中正确的有（        ）

A．方程没有正数解

B．方程有无穷多个解

C．方程有一个正数解

D．方程的实数解小于 $1$

答案    BCD．

解析    设 $f(x)=2^x-\sin x-1$． 注意到 $y=2^x-1$ 在 $x\to -\infty$ 时，$y\to -1$，因此函数 $f(x)$ 有无穷多个负实数零点．严格证明如下：

$$\begin{split} f\left(-\dfrac{(2k-1)\pi}2\right)&=2^{-\frac{(2k-1)\pi}2}>0,\\ f\left(-\dfrac{(2k+1)\pi}2\right)&=2^{-\frac{(2k+1)\pi}2}-2<0,\end{split}$$ 其中 $k\in \mathbb N^{\ast}$．因此在每个形如 $\left(-\dfrac{(2k+1)\pi}2,-\dfrac{(2k-1)\pi}2\right)$ 的区间上均存在 $f(x)$ 的零点，因此题中方程有无穷多个负实数解，选项 $\boxed{B}$ 正确． 当 $x\geqslant 1$ 时，有 $$f(x)\geqslant 2^1-1-1=0,$$ 且等号无法取得，因此方程的实数解小于 $1$，选项 $\boxed{D}$ 正确． 接下来考虑函数 $f(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上的零点情况．函数 $f(x)$ 的导函数 $$f'(x)=\ln 2\cdot 2^x-\cos x,$$ 该函数为 $(0,1)$ 上的单调递增函数，且 $$f'(0)=\ln 2-1<0,\quad f'(1)=\ln 2\cdot 2-\cos 1>0,$$ 因此函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上先单调递减，再单调递增，结合 $f(0)=0$，$f(1)>0$，可得函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上有唯一零点，选项 $\boxed{A}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确．