有一长、宽、高分别为正整数 $m, n, r$（$m \leqslant n \leqslant r$）的长方体，表面涂上红色后切成棱长为 $1$ 的正方体，已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和，减去一面带红色的正方体个数得 $1985$．求 $m, n, r$ 的值．
答案 $(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399)$．
解析 情形一 若 $m\geqslant 2$，设 $m-2=a$，$n-2=b$，$r-2=c$，不带红色、一面带红色、两面带红色的正方体的个数分别为 $k_0,k_1,k_2$，则\[\begin{cases} k_0=abc,\\ k_1=2ab+2bc+2ca,\\ k_2=4a+4b+4c,\end{cases}\]根据题意，有\[k_0-k_1+k_2=1985\iff abc-2(ab+bc+ca)+4a+4b+4c=1985,\]即\[(a-2)(b-2)(c-2)=1977,\]而 $1977=3\cdot 659$，于是可得解\[(a-2,b-2,c-2)=(-1,-1,1977),(1,1,1977),(1,3,659),\]即\[(m,n,r)=(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663).\]
情形二 若 $m=1$，则\[\begin{cases} k_0=0,\\ k_1=0,\\ k_2=(n-2)(r-2),\end{cases}\]根据题意，有\[k_0-k_1+k_2=1985\iff (n-2)(r-2)=1985,\]而 $1985=5\cdot 395$，于是\[(n-2,r-2)=(1,1985),(5,397),\]因此\[(m,n,r)=(1,3,1987),(1,7,399).\]
综上所述，$(m,n,r)$ 的值为 $(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399)$．