有一长、宽、高分别为正整数 m,n,r(m⩽n⩽r)的长方体,表面涂上红色后切成棱长为 1 的正方体,已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和,减去一面带红色的正方体个数得 1985.求 m,n,r 的值.
答案 (3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399).
解析 情形一 若 m⩾2,设 m−2=a,n−2=b,r−2=c,不带红色、一面带红色、两面带红色的正方体的个数分别为 k0,k1,k2,则{k0=abc,k1=2ab+2bc+2ca,k2=4a+4b+4c,
根据题意,有k0−k1+k2=1985⟺abc−2(ab+bc+ca)+4a+4b+4c=1985,
即(a−2)(b−2)(c−2)=1977,
而 1977=3⋅659,于是可得解(a−2,b−2,c−2)=(−1,−1,1977),(1,1,1977),(1,3,659),
即(m,n,r)=(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663).
情形二 若 m=1,则{k0=0,k1=0,k2=(n−2)(r−2),
根据题意,有k0−k1+k2=1985⟺(n−2)(r−2)=1985,
而 1985=5⋅395,于是(n−2,r−2)=(1,1985),(5,397),
因此(m,n,r)=(1,3,1987),(1,7,399).
综上所述,(m,n,r) 的值为 (3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399).