每日一题[2062]染色方程

有一长、宽、高分别为正整数 m,n,rmnr)的长方体,表面涂上红色后切成棱长为 1 的正方体,已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和,减去一面带红色的正方体个数得 1985.求 m,n,r 的值.

答案    (3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399)

解析    情形一    若 m2,设 m2=an2=br2=c,不带红色、一面带红色、两面带红色的正方体的个数分别为 k0,k1,k2,则{k0=abc,k1=2ab+2bc+2ca,k2=4a+4b+4c,

根据题意,有k0k1+k2=1985abc2(ab+bc+ca)+4a+4b+4c=1985,
(a2)(b2)(c2)=1977,
1977=3659,于是可得解(a2,b2,c2)=(1,1,1977),(1,1,1977),(1,3,659),
(m,n,r)=(3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663).

情形二    若 m=1,则{k0=0,k1=0,k2=(n2)(r2),

根据题意,有k0k1+k2=1985(n2)(r2)=1985,
1985=5395,于是(n2,r2)=(1,1985),(5,397),
因此(m,n,r)=(1,3,1987),(1,7,399).

综上所述,(m,n,r) 的值为 (3,3,1981),(5,5,1981),(5,7,663),(1,3,1987),(1,7,399)

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